Algebre lineaire - download pdf or read online

By Lipschitz S.

ISBN-10: 2704200017

ISBN-13: 9782704200016

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Dann gibt es ein linear unabh¨ angiges System der L¨ ange n + 1 von Vektoren aus U . Das System dieser Vektoren ist nat¨ urlich auch in V linear unabh¨ angig, im Widerspruch zu Antwort 109 (d). Also ist U endlich erzeugt mit dim U ≤ dim V . Der Zusatz folgt aus dem Basiserg¨ anzungssatz. 3 Summen von Vektorr¨ aumen 49 Frage 122 Seien U, W ⊂ V Unterr¨aume eines K-Vektorraums V . Unter welcher Bedingung ist auch U ∪ W ein Unterraum von V ? Antwort: Bez¨ uglich der Vereinigung von Unterr¨ aumen gilt: U ∪W ist genau dann ein Unterraum, wenn U ⊂ W oder W ⊂ U gilt.

Sei zum Beispiel U1 = {(x1 , x2 ) ∈ K 2 ; x1 = 0}, und U2 = {(x1 , x2 ) ∈ K 2 ; x2 = 0}, dann liegen die Vektoren u1 = (0, 1) und u2 = (1, 0) beide in U1 ∪ U2 , nicht aber deren Summe u1 + u2 = (1, 1). Frage 99 Was versteht man unter einer Linearkombination eines endlichen Systems (v1 , . . , vr ) von Vektoren eines K-Vektorraums V ? Antwort: Unter einer Linearkombination der Vektoren v1 , . . , vr ∈ V versteht man jede Summe der Form α1 v1 + · · · + αr vr , wobei αi f¨ ur i = 1, . . , r beliebige Elemente des Grundk¨ orpers K sind.

V ∈ span(v1 , . . , vr ) =⇒ F (v) ∈ span F (v1 ), . . , F (vr ) v1 , . . , vr linear abh¨ angig =⇒ F (v1 ), . . , F (vr ) linear abh¨ angig w = α1 v1 + · · · + αr vr =⇒ F (w) = α1 F (v1 ) + · · · + αr F (vr ). Das letzte Beispiel ist besonders aufschlussreich. Da sich jede Relation, die zwischen den Elementen eines Vektorraums besteht, durch den Begriff der Linearkombination ausdr¨ ucken l¨ asst, gen¨ ugt es, f¨ ur eine lineare Abbildung zu fordern, dass sie bestehende Gleichungen zwischen Linearkombinationen u agt, dass ¨bertr¨ also f¨ ur v1 , .

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Algebre lineaire by Lipschitz S.


by Daniel
4.1

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