Laurent Berger's Algèbre 1 [Lecture notes] PDF

By Laurent Berger

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Mk . Soit X le A-module libre dont une base est donn´ee les k-uplets [m1 , . . , mk ] ∈ M1 × · · · × Mk (sans relations) et Y le sous-module de X engendr´e par les ´el´ements de X de la forme : [m1 , . . , λ1 mi,1 + λ2 mi,2 , . . , mk ] − λ1 [m1 , . . , mi,1 , . . , mk ] − λ2 [m1 , . . , mi,2 , . . , mk ], pour 1 ≤ i ≤ k. Le produit tensoriel M1 ⊗A · · · ⊗A Mk est par d´efinition le quotient X/Y . On note m1 ⊗· · ·⊗mk l’image de [m1 , . . , mk ] dans M1 ⊗A · · ·⊗A Mk . On dispose d’une application (m1 , .

On a v ◦ u = v u = 0 et si v (y) = 0, c’est que y ∈ B v´erifie v (y) ∈ c(C) et on peut alors l’´ecrire c(z) puis cv(w) avec w ∈ B (comme v est surjective) et cv(w) = v b(w) ce qui fait que y ∈ b(w)+ker(v ) ∈ b(B) + im(u ) et donc que y ∈ im(u ). Enfin v est surjective car v l’est. 56 ANNEXE C. LE LEMME DU SERPENT Construisons maintenant une application δ : ker(c) → coker(a). Si z ∈ ker(c), alors on peut ´ecrire z = v(y) avec y ∈ B et on a 0 = cv(y) = v b(y) ce qui fait que b(y) ∈ ker(v ) = im(u ) et il existe donc un (et un seul) x ∈ A tel que b(y) = u (x ).

PRODUITS ALTERNES 47 D´emonstration. — Soit v1 , . . , vr une base de V . ,ik vi1 ⊗ · · · ⊗ vik et si k ≥ r + 1, alors deux des indices comme combinaison lin´eaire ij ∈ {1, . . , r} sont n´ecessairement ´egaux et donc L = T k (V ) ce qui fait que Λk (V ) = 0. On suppose donc dans la suite que k ≤ r. Les ´el´ements de la forme vi1 ⊗ · · · ⊗ vik forment une base de T k (V ). Si deux des ij sont ´egaux, alors l’image de cet ´el´ement est nul dans Λk (V ) et sinon on a vσ(i1 ) ∧ · · · ∧ vσ(ik ) = ε(σ)vi1 ∧ · · · ∧ vik ce qui fait que les ´el´ements de la forme vi1 ∧ · · · ∧ vik avec i1 < i2 < · · · < ik engendrent Λk (V ).

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Algèbre 1 [Lecture notes] by Laurent Berger


by Daniel
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